Welcome, Guest. Please Login.
Logo Math-QA.COMFree Counter by GOWEB
24.11.2017 at 04:40:30
News:
Home Help Search Login


Pages: 1
Send Topic Print
Loesungstext (Read 3582 times)
Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
YaBB Administrator
*****



Posts: 3912
Loesungstext
23.02.2006 at 20:30:30
 
Ich fuehre hier ein zur Originalaufgabe sehr aehnliches Beispiel vor. Die Originalaufgabe  
kann mit der gleichen Methode geloest werden.
 
Wir bestimmen die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix
 
$A = ((1,4),(4,2))$.
 
Zunaechst berechnen wir das charakteristische Polynom von $A$.
 
$|A - lambda E| = |((1 - lambda,4),(4,2 - lambda))| = (1 - lambda)(2 - lambda) - 16 = lambda^2 - 3 lambda - 14$.
 
Dessen Nullstellen sind
 
$lambda_1 = 3/2 + 1/2 sqrt(65)$ und $lambda_2 = 3/2 - 1/2 sqrt(65)$.
 
Einen Eigenvektor $e$ zum Eigenwert $lambda$ berechnet man aus den Gleichungssystem
 
(1)           $(A - lambda E)*e = 0$.
 
Wir betrachten dieses System fuer $lambda = lambda_1$. Es ist
 
$A - lambda_1 E = ((1 - 3/2 - 1/2 sqrt(65),4),(4,2 - 3/2 - 1/2 sqrt(65))) = ((- 1/2 - 1/2 sqrt(65),4),(4,1/2 - 1/2 sqrt(65)))$.
 
Da $|A - lambda_1 E| = 0$ ist, muessen die Zeilen der Matrix $A - lambda_1 E$ proportional  
 
sein. Folglich genuegt es, $e$ aus einer der Zeilen des Systems (1) zu berechnen. Wir machen  
 
einen Ansatz
 
$e = ((x),(1))$
 
und bilden die zweite Zeile von (1)
 
$0 = (4,1/2 - 1/2 sqrt(65))*((x),(1)) = 4 x + 1/2 - 1/2 sqrt(65)$.
 
Hieraus erhalten wir $x = - 1/8 + 1/8 sqrt(65)$. Ein Eigenvektor $e_1$ zu $lambda_1$ ist  
 
somit $e_1 = ((- 1/8 + 1/8 sqrt(65)),(1))$.
 
Fuer $lambda = lambda_2$ fuehren wir eine analoge Rechnung durch:
 
$A - lambda_2 E = ((1 - 3/2 + 1/2 sqrt(65),4),(4,2 - 3/2 + 1/2 sqrt(65))) = ((- 1/2 + 1/2 sqrt(65),4),(4,1/2 + 1/2 sqrt(65)))$.
 
Der Ansatz $e_2 = ((x),(1))$ fuehrt zu
 
$0 = (4,1/2 + 1/2 sqrt(65))*((x),(1)) = 4 x + 1/2 + 1/2 sqrt(65)$
 
und $x = - 1/8 - 1/8 sqrt(65)$. Folglich ist ein Eigenvektor zu $lambda_2$
 
$e_2 = ((- 1/8 - 1/8 sqrt(65)),(1))$.
Back to top
 
 

B. Fiedler
WWW   IP Logged
Pages: 1
Send Topic Print