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Loesungstext (Read 3427 times)
Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
YaBB Administrator
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Posts: 3912
Loesungstext
12.04.2006 at 13:37:13
 
Literatur:
[1] v.Mangoldt, Lösch, Einführung in die höhere Mathematik, Band IV, S. Hirzel Verlag Leipzig, 1973.
 
Nach [1, pp.47, 48] hat jede $sigma$-Algebra $Sigma$ von von Teilmengen einer Menge $M$ folgende Eigenschaften:
(i)    $M in Sigma$.
(ii)    Sind $A, B in Sigma$, so ist auch $A \\ B in Sigma$.
(iii)   Für jede Folge $(A_i)_(i = 1, 2,...)$ von Mengen $A_i in Sigma$ ist auch
(iiia) $uuu_(i = 1)^(oo) A_i in Sigma$,
(iiib) $nnn_(i = 1)^(oo) A_i in Sigma$.
 
Sei nun $Sigma$ $sigma$-Algebra von $M = bbbR^1$.
 
a) Wir zeigen, dass jedes $[a,oo) in Sigma$:
Da jedes $(- oo,a) in Sigma$ und $bbbR in Sigma$, so ist auch nach (ii) $bbbR \\ (- oo,a) = [a,oo) in Sigma$.
 
b) Wir zeigen, dass jedes $(-oo, a] in Sigma$:
Für jedes $i in bbbN$ ist $A_i := (- oo, a + 1//i) in Sigma$. Dann ist nach (iiib) auch $nnn_(i = 1)^(oo) A_i in Sigma$. Da aber $nnn_(i = 1)^(oo) A_i = (- oo, a]$ ist, ist die Behauptung bewiesen.
 
c) Wir zeigen, dass jedes $(a,oo) in Sigma$:
Da jedes $(- oo,a] in Sigma$ und $bbbR in Sigma$, so ist auch $(a, oo) = bbbR \\ (- oo,a] in Sigma$.
 
d) Wir zeigen, dass jedes $[a,b] in Sigma$:
Seien $a, b$ mit $a < b$ fest gegeben. Es ist $A := (- oo, a) in Sigma$ und $B := (b,oo) in Sigma$. Nach (iiia) ist dann auch $C := A uu B in Sigma$ und nach (ii) $bbbR \\ C in Sigma$. Es ist aber $bbbR \\ C = [a,b]$, womit die Behauptung bewiesen ist.
 
e) Wir zeigen, dass jedes $(a,b] in Sigma$:
Seien $a < b$ fest gegeben. Es sind $(- oo, b] in Sigma$ und $(a, oo) in Sigma$. Dann ist nach (iiib) aber auch $(- oo, b] nn (a, oo) = (a,b] in Sigma$.
 
f) Wir zeigen, dass jede einelementige Menge ${a} in Sigma$:
Für jedes $i in bbbN$ ist $A_i := (a - 1//i , a] in Sigma$. Nach (iiib) ist auch
$nnn_(i = 1)^(oo) A_i in Sigma$. Da aber $nnn_(i = 1)^(oo) A_i = {a}$ ist, folgt ${a} in Sigma$.
 
g) Wir zeigen, dass jedes $(a,b) in Sigma$:
Da jedes $[a,b] in Sigma$ und jede Menge ${a}, {b} in Sigma$, folgt auch $(a,b) = [a,b]\\({a}uu{b}) in Sigma$.
 
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B. Fiedler
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