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Antwort/Answer (Read 9594 times)
Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
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Antwort/Answer
12.11.2006 at 18:31:31
 
Zu Teilaufgabe 1:
Man sieht sofort, dass man mit einem Duengemittel allein keine sachgemaesse Duengung durchfuehren kann.
 
Wollte man mit A allein duengen, muesste man wenigstens 10 Einheiten von A verwenden, um den Mindestwert von 20 Einheiten M2 zu erreichen. Dann erhaelt man jedoch auch 2x10 = 20 Einheiten M3, d.h. die Obergrenze von 16 Einheiten M3 wird ueberschritten.
 
Wollte man mit B allein duengen, muesste man wenigstens 12 Einheiten von B verwenden, um den Mindestwert von 36 Einheiten M1 zu erreichen. Dann erhaelt man jedoch auch 12x1,6 = 19,2 Einheiten M3, d.h. die Obergrenze von 16 Einheiten M3 wird wieder ueberschritten.
 
 
 
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B. Fiedler
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Fortsetzung 1 / Continuation 1
Reply #1 - 12.11.2006 at 18:37:33
 
Zu Teilaufgabe 2:
 
Wir stellen mathematische Bedingungen fuer die gegebene Problemstellung auf.
 
Wir bezeichnen mit $a$, $b$ wie bei der Duengung verwendeten Einheiten der Duengemittel A, B und mit $m_1$, $m_2$, $m_3$ die Mengeneinheiten der Mineralien M1, M2, M3.
 
Nach den Tabellen in der Aufgabenstellung sind in $a$ Einheiten A $6*a$ Einheiten M1 enthalten. $b$ Einheiten B enthalten $3*b$ Einheiten M1. Folglich ist die Gesamtzahl $m_1$ von Mengeneinheiten M1, die in $a$ Einheiten A und $b$ Einheiten B enthalten ist:
 
(1)   $m_1 = 6*a + 3*b$.
 
Mit den gleichen Ueberlegungen erhalten wir die Formeln
 
(2)   $m_2 = 2*a + 5*b$
(3)   $m_3 = 2*a + 1,6*b$
 
fuer die in $a$ Einheiten A und $b$ Einheiten B enthaltenen Mengeneinheiten an M2 und M3.
 
Nach den Preisangaben fuer A und B in der Aufgabenstellung sind die Kosten $K$ fuer $a$ Einheiten A und $b$ Einheiten B:
 
(4)   $K = 39*a + 24*b$   (in EURO).
 
Die Aufgabenstellung liefert uns nun die Bedingungen $m_1 >= 36$, $m_2 >= 20$, $m_3 <= 16$ und $K = min$. Ferner gibt es noch die "trivialen Bedingungen" $a >= 0$ und $b >= 0$. Zusammen fuehrt uns das auf die Bedingungen
 
(5a)       $6*a + 3*b >= 36$
(5b)       $2*a + 5*b >= 20$
(5c)   $- 2*a - 1,6*b >= -16$
(5d)                    $a >= 0$
(5e)                    $b >= 0$
(6)       $K = 39*a + 24*b = min$.
 
(5a) bis (5e) und (6) sind ein lineares Optimierungsproblem in den 2 Variablen $a$ und $b$. (5a) bis (5e) sind die Restriktionen des Problems. (6) enthaelt die Zielfunktion $K = 39*a + 24*b$, fuer die das absolute Minimum bestimmt werden soll.
 
 
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B. Fiedler
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Fortsetzung 2 / Continuation 2
Reply #2 - 12.11.2006 at 19:12:08
 
Wir stellen nun den durch (5a) bis (5e) gegebenen zulaessigen Bereich graphisch dar.
 
Wir zeichnen zunaechst die Geraden
 
G1:   $6*a + 3*b = 36$
G2:   $2*a + 5*b = 20$
G3:   $-2*a - 1,6*b = -16$
 
auf denen jeweils das Gleichheitszeichen in den Restriktionen (5a), (5b), (5c) gilt. Die Formeln fuer diese Geraden koennen wir auch schreiben als
 
G1:   $b = - 2*a + 12$
G2:   $b = -0,4*a + 4$
G3:   $b = -1,25*a + 10$.
 
Diese 3 Geraden schneiden die $a$-Achse und $b$-Achse in folgenden Punkten $(a,b)$:
 
G1:  $(0,12)$, $(6,0)$
G2:  $(0,4)$, $(10,0)$,
G3:  $(0,10)$, $(8,0)$.
 
Dies fuehrt zu folgendem Bild
 

 
Nun ermitteln wir, welche durch G1, G2 oder G3 begrenzte Halbebene zulaessig waere, wenn nur eine der Bedingungen (5a), (5b) oder (5c) erfuellt werden muesste. Hierzu testen wir einfach, ob der Koordinatenursprung $(0,0)$ zulaessig waere, indem wir ihn in (5a), (5b) oder (5c) einsetzen. Es ergibt sich:
 
$(0,0)$ in (5a) eingesetzt $rArr$    $0 >= 36$ falsch     $rArr$  $(0,0)$ erfuellt (5a) nicht.
$(0,0)$ in (5b) eingesetzt $rArr$    $0 >= 20$ falsch     $rArr$  $(0,0)$ erfuellt (5b) nicht.
$(0,0)$ in (5c) eingesetzt $rArr$    $0 >= -16$ richtig     $rArr$  $(0,0)$ erfuellt (5c).
 
Somit sind bei G1 und G2 die Halbebenen zulaessig, die $(0,0)$ nicht enthalten. Bei G3 ist die Halbebene zulaessig, in der $(0,0)$ liegt. Wir Kennzeichnen die zulaessigen Halbebenen durch gruene "Faehnchen".
 

 
Sollen nun die Bedingungen (5a), (5b), (5c) gleichzeitig erfuellt sein, dann ergibt sich als zulaessiger Bereich das von den Geraden G1, G2, G3 eingeschlossene Dreieck.
 

 
Aus diesem Bild sieht man, dass die rivialen Bedingungen $a >= 0$ und $b >= 0$ entfallen koennen, da alle Punkte des durch (5a), (5b), (5c) bestimmten Bereiches $B$ auch diese trivialen Bedingungen erfuellen.
 
Das Bild verdeutlicht ferner noch einmal, dass mit einem Duengemittel allein keine sachgemaesse Duengung moeglich ist, da kein Punkt der Koordinatenachsen in dem zulaessigen Bereich $B$ liegt.
 
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« Last Edit: 13.11.2006 at 03:17:05 by Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler »  

B. Fiedler
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Fortsetzung 3 / Continuation 3
Reply #3 - 13.11.2006 at 13:24:37
 
Wir suchen nun solche Werte von $a$, $b$, fuer die die Zielfunktion (6) minimal wird.
 
Die Menge aller Punkte $(a,b)$, fuer die
 
(7)   $39*a + 24*b = K = const.$
 
ist, bildet eine Gerade. Aus dem letzten Bild sieht man, dass $(5 ; 3) in B$ ein Punkt des zulaessigen Bereiches $B$ ist. Auf diesem Punkt hat die Zielfunktion den Wert $K = 39*5 + 24*3 = 267$, d.h. der Punkt $(5 ; 3)$ liegt auf der Geraden
 
(8)   $39*a + 24*b = 267$.
 
Diese Gerade schneidet offensichtlich die Koordinatenachsen in den Punkten $(6,85 ; 0)$, $(0 ; 11,125)$. Zeichnen wir die Gerade durch diese Punkte (d.h. die Gerade (8)), so ergibt sich  
 
 

 
Betrachten wir $K$ in (7) als variablen Parameter, dann beschreibt (7) eine Schar von Geraden, die parallel zur Geraden (8) verlaufen. Dabei wird offenbar der Wert von $K$ kleiner, wenn wir zu einer Geraden der Schar uebergehen, die naeher am Ursprung $(0 ; 0)$ liegt. (Auf der Geraden der Schar durch den Ursprung $(0 ; 0)$ ist $K = 0$, waehrend auf (8) $K = 267$ ist.)
 
Wir erhalten folglich den minimalen Wert fuer die Kosten $K$, wenn wir die Gerade (8) parallel so weit in Richtung Ursprung $(0 ; 0)$ verschieben, dass ihr Abstand zu $(0 ; 0)$ minimal wird, die Gerade aber immer noch durch einen Punkt des zulaessigen Bereiches $B$ geht. Dieses Verfahren (graphische Methode der Loesung des linearen Optimierungsproblems) liefert uns die Gerade der Schar (7), die durch den Schnittpunkt der Geraden G1 und G2 geht.
 

 
Wir berechnen den Schnittpunkt von G1 und G2:
 
$G1 nn G2$:  
$2*a$$+$$5*b$$=$$20 $  | *(-3) | +
$6*a$$+$$3*b$$=$$36$

----------------------------------
$2*a$$+$$5*b$$=$$20$
$-$$12*b$$=$$-24$

Hieraus erhalten wir $b = 2 , a = 5$, d.h. der Schnittpunkt von G1 und G2 ist $(5,2)$. Dieser Punkt liefert die Einheiten $a$, $b$ fuer die Mischung von A, B, die noch zulaessig ist und bei der sich minimale Kosten ergeben.
 
Fuer den Punkt $(5,2)$ erhalten wir
 
(10)    $K_(min) = 39*5 + 24*2 = 243$.
 
Die Gerade
 
(11)   $39*a + 24*b = 243$
 
der Schar (7), die durch den Punkt $(5,2)$ verlaeuft, schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten
$(0 ; 10,125)$, $(6,231 ; 0)$. Mit Hilfe dieser Punkte kann man das oben stehenden Bild Zeichnen.
 
Loesung von Teilaufgabe 2:
Minimale Kosten ergeben sich fuer $b = 2 , a = 5$. Die minimalen Kosten betragen $K_(min) = 243$ EURO.
 
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« Last Edit: 13.11.2006 at 15:35:39 by Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler »  

B. Fiedler
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Fortsetzung 4 / Continuation 4
Reply #4 - 13.11.2006 at 14:35:22
 
Teilaufgabe 3:
Die Bedingung $a = b$ fuer die "empirische Duengung" ueberfuehrt das Optimierungsproblem (5), (6) in
 
(12a)       $9*a >= 36$
(12b)       $7*a >= 20$
(12c)   $- 3,6*a >= -16$
(12d)      $a >= 0$
(13)       $K = 63*a  = min$.
 
Aus (12a) ergibt sich $a >= 4$, aus (12b) $a >= 2,858$ und aus (12c) $a <= 4,444$. Folglich ist
$a = 4$ die Loesung des Optimierungsproblems (12), (13). Die zugehoerigen minimalen Kosten betragen
$K_min = 63*4 = 252$ EURO.
 
Bei verwendung der Minimalloesung aus Teilaufgabe 2 spart man somit $252 - 243 = 9$ EURO.
 
Es ist interessant, den zuläsigen Bereich des Optimierungsproblems (12), (13) zu zeichnen. Es ist der Durchschnitt des Bereiches $B$ (Dreieck) aus teilaufgabe 2 mit der Geraden $b = a$. Man sieht auch aus der Skizze, dass der zulaessige Bereich $B$ niedrigere Kosten als die "empirische Duengung" ermoeglicht.
 

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Fortsetzung 5 / Continuation 5
Reply #5 - 13.11.2006 at 14:58:23
 
Teilaufgabe 4:
Bei gegebenem $a$ und $b$ berechnen sich die Einheiten an M3 nach Formel
 
(3)    $m_3 = 2*a + 1,6*b$.
 
Die Minimalloesung aus Teilaufgabe 2 lautete $a = 5, b = 2$. Dies fuehrt zu
 
$m_3 = 2*5 + 1,6*2 = 13,2$.
 
Die preisguenstigste empirische Duengung ergab sich bei $a = b = 4$. Dies liefert
 
$M_3 = 2*4 + 1,6*4 = 3,6*4 = 14,4$
 
Somit ist bei der empirischen Duengung der Anteil an M3 groesser als bei der minimalen Loesung aus Teilaufgabe 2.
 
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B. Fiedler
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Fortsetzung 6 / Continuation 6
Reply #6 - 13.11.2006 at 15:04:35
 
Teilaufgabe 5:
Lassen wir einen variablen Preis $lambda$ fuer das Duengemittel B zu, so muessen wir die Zielfunktion (6) durch die Zielfunktion
 
(14)    $K = 39*a + lambda*b = min$
 
ersetzen.
 
Bei festem $K$ beschreibt (14) wieder eine Gerade, die wir auch in der Form
 
(15)    $b = - 39/lambda *a + K/lambda$
 
schreiben koennen. Wir sehen, dass der Anstieg von (15) steiler wird, wenn $lambda$ (d.h. der Preis fuer $b$) kleiner wird.
 
Man sieht an obigen Bildern: Wird der Betrag des Anstiegs von (15) groesser als der Betrag des Anstiegs von G1, dann liegt die minimale Loesung des Optimierungsproblems (5), (15) in der Ecke des Dreiecks $B$, in der sich G1 und G3 schneiden.
 
Der Betrag des Anstiegs von G1 ist 2 (siehe Fortsetzung 2). Folglich kommt die billigere Ecke $G1 nn G3$ in Betracht, wenn
 
(16)    $39/lambda > 2$
 
ist. Aus (16) erhalten wir
 
(17)    $lambda < 39/2 = 19,5$.
 
Wird der Preis fuer B unter 19,50 EURO gesenkt, dann representiert die Ecke $G1 nn G3$ von $B$ die minimale Loesung von (5), (15).
 
Wir bestimmen die Koordinaten dieser Ecke:
 
$G1 nn G3$:  
$-2*a$$-$$1,6*b$$=$$-16$  | *3 | +
$6*a$$+$$3*b$$=$$36$

----------------------------------
$2*a$$+$$1,6*b$$=$$16$
$-$$1,8*b$$=$$-12$

Dieses System hat die Loesung
 
$b = 6,667  ,  a = 2,6664$,
 
d.h. die Ecke $G1 nn G3$ ist der Punkt $(2,6664 ; 6,667)$.
 
Bei diesem Punkt ist der Wert von $a$ bedeutend kleiner als bei der minimalen Loesung aus Teilaufgabe 2.
 
Die zu diesem Punkt gehoerenden Kosten betragen
 
(18)    $K = 39*2,6664 + lambda*6,667 = 103,9896 + lambda*6,667$,
 
wobei $lambda < 19,5$ der Preis fuer das Duengemittel B ist.
 
Bei $lambda = 19,5$ ergibt sich $K = 233,9961$.
 
Wir haben einmal fuer $lambda = 16$ das zugehoerige Bild gezeichnet. $lambda = 16$ fuehrt zu den Kosten $K = 39*2,6664 + 16*6,667   = 210,6616$.
 

 
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B. Fiedler
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