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Antwort/Answer (Read 8248 times)
Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
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Antwort/Answer
05.12.2006 at 22:34:15
 
Ohne Beschraenkung der Allgemeinheit koennen wir annehmen, dass die Lichtstrahlen vom Koordinatenursprung $O$ ausgehen und in Parallelstrahlen in Richtung der positiven $x$-Achse reflektiert werden. Sei $M(x,y)$ ein Punkt des gesuchten Reflektors, der die Koordinaten $x,y$ hat. In der folgenden Skizze stellen wir ein kurzes Stueck des gesuchten Reflektors durch $M(x,y)$ durch einen roten Bogen dar. Dann ist der von $O$ ausgehende Lichtstrahl, der in $M$ abgelenkt wird, der gruene Linienzug $OMS$.
 

 
Wir legen in $M$ die Tangente an die Reflektorkurve. Sie schneidet in $N$ die $x$-Achse.
 
Nach dem Reflexionsgesetz "Einfallswinkel = Ausfallswinkel" muessen die beiden Winkel $alpha$ und $beta$ gleich sein. Da die Strecke $MS$ parallel zur $x$-Achse verlaeuft, ist dann auch
 
(1)   $gamma = alpha = beta$.
 
Somit ist das Dreieck $NOM$ ein gleichschenkliges Dreieck, d.h. es gilt
 
(2)   $|ON| = |OM| = sqrt(x^2 + y^2)$.
 
Sei $L$ der Fusspunkt des Lotes von $M$ auf die $x$-Achse. Dann ist
 
(3)   $|ML| = y$, $|OL| = x$.
 
Der Anstieg der Tangente in $M$ ist
 
(4)   $tan gamma = (|ML|)/(|NL|) = (|ML|)/(|NO| + |OL|)  = y/(x + sqrt(x^2 + y^2)$.
 
Andererseits ist $tan gamma = y'(x)$, wenn $y = y(x)$ die Form des gesuchten Reflektors beschreibt. Damit erhalten wir die Differentialgleichung
 
(5)   $y'(x) = y/(x + sqrt(x^2 + y^2)$,
 
aus der wir die Form $y = y(x)$ die Form des gesuchten Reflektors bestimmen koennen.
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B. Fiedler
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Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
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Fortsetzung 1 / Continuation 1
Reply #1 - 05.12.2006 at 23:06:00
 
(5) ist eine homogene DGL, die durch eine Substitution $z = y/x$ in eine DGL mit getrennten Variablen umgeformt werden kann. Man kann sie jedoch auch mit einem geeigneten integrierenden Faktor in eine exakte DGL verwandeln. Wir wollen diesen zweiten Weg beschreiten.
 
Wir erweitern zunaechst die rechte Seite von (5) mit $x - sqrt(x^2 + y^2)$, um die Wurzel aus dem Nenner zu entfernen. Dies liefert
 
(6)   $y' = (y (x - sqrt(x^2 + y^2)))/(x^2 - x^2 - y^2) = - (x - sqrt(x^2 + y^2))/y$
 
und
 
(7)    $y dy = - (x - sqrt(x^2 + y^2)) dx$,
 
(8)    $x dx + y dy = sqrt(x^2 + y^2) dx$.
 
Multipliziert man (8) mit $mu(x,y) := 1/(sqrt(x^2 + y^2))$, dann wird die DGL exakt.
 
(9)    $(x dx + y dy)/(sqrt(x^2 + y^2)) = dx$,
 
(10)   $d sqrt(x^2 + y^2) = dx$.
 
Somit ist
 
(11)   $sqrt(x^2 + y^2) - x = c = const.$
 
auf den Loesungskurven von (5), d.h. (11) liefert ein Integral der DGL (5).
 
Wir loesen (11) nach $x$ auf:
 
(12)   $sqrt(x^2 + y^2) = x + c$,
 
(13)   $x^2 + y^2 = x^2 + 2 c x + c^2$,
 
(14)   $y^2 = 2 c x + c^2$.
 
Der gesuchte Reflektor ist ein Rotationsparaboloid mit der $x$-Achse als Rotationsachse.
 
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B. Fiedler
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