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Zu Klausuraufgabe 3, TPL1 (Read 5314 times)
Dr. B. Fiedler
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Posts: 530
Zu Klausuraufgabe 3, TPL1
11.04.2008 at 15:40:08
 
Ich führe hier noch einmal eine Lösung einer zu Aufgabe 3 ähnlichen Aufgabe vor.
 
Aufgabe: Man bestimme die Lösung $(x_1,x_2)$ des Systems
 
I    $(lambda -1) x_1 + 8 x_2 = 12$
II   $x_1 + (lambda -3) x_2 = 3$  
 
Für welche $lambda$-Werte ist das System
a) eindeutig lösbar,
b) mehrdeutig lösbar
c) widersprüchlich?
     
Lösung:
Wir lösen das System mit Gaußschem Algorithmus
 
I    $(lambda -1) x_1 + 8 x_2 = 12$       I - $(lambda - 1)$*II
II   $x_1 + (lambda -3) x_2 = 3$           Pivotzeile
 
I'     $x_1 + (lambda -3) x_2 = 3$
II'    $[8 - (lambda - 1)(lambda - 3)] x_2 = 12 - (lambda - 1)*3$
 
Wir multiplizieren in der zweiten zeile alles aus und vereinfachen:
 
I"     $x_1 + (lambda -3) x_2 = 3$
II"    $[- lambda ^2 + 4 lambda + 5] x_2 = 15 - 3 lambda$
 
Nun können wir aus I", II" Antworten auf die Fragen a), b), c) ablesen:
 
Zu a):
Falls in II" die eckige Klammer ungleich Null ist, hat das System I", II" offenbar Dreiecksgestalt und damit eine eindeutig bestimmte Lösung.
 
Wir Bestimmen die Nullstellen der eckigen Klammer:
 
(1)   $lambda ^2 - 4 lambda - 5 = 0$
 
Hieraus folgt
 
(2)   $lambda_(1,2) = 2 pm sqrt(4 + 5) = 2 pm 3$
 
(3)   $lambda_1 = 5$,   $lambda_2 = -1$.
 
Das System ist eindeutig lösbar, wenn $lambda != 5$ und $lambda != -1$ ist , d.h. für $lambda in RR\\{5,-1}$.
 
Das System hat hierbei folgende Lösung:
 
Aus II" erhalten wir
 
(4)   $x_2 = (15 - 3 lambda)/(- lambda ^2 + 4 lambda + 5)$
 
Da wir die Nullstellen des Nenners kennen, wissen wir, daß er sich (nach dem Fundamentalsatz der Algebra) schreiben läßt als
 
(5)   $- lambda ^2 + 4 lambda + 5 = - (lambda - 5)(lambda + 1)$
 
(Fundamentalsatz:  $b_n x^n + b_(n-1) x^(n-1) + ... + b_1 x + b_0 = b_n * (x - alpha_1)*...*(x- alpha_n)$, wenn $alpha_1$, ... , $alpha_n$ die $n$ Nullstellen des Polynoms $b_n x^n - b_(n-1) x^(n-1) + ... + b_1 x + b_0$ sind.)
 
Wegen (5) können wir in (4) noch kürzen und erhalten
 
(6)   $x_2 = - (15 - 3 lambda)/((lambda - 5)(lambda + 1)) = 3/(lambda + 1)$
 
(Bem.: Solche Kürzungen sind nicht in jeder Aufgabe möglich, aber man sollte durch Nullstellenbestimmung des Nenners immer untersuchen, ob gekürzt werden kann.)
 
Setzen wir (6) in I" ein, erhalten wir
 
(7)   $x_1 = 3 - (lambda - 3) x_2 = 3 - (3(lambda - 3))/(lambda + 1) = (3(lambda + 1) - 3(lambda - 3))/(lambda + 1) = (12)/(lambda + 1)$
 
Im Fall a) hat das System die Lösung
 
(8)   $x_1 = (12)/(lambda + 1)$,   $x_2 = 3/(lambda + 1)$.
 
Zu b):
 
Das System I", II" hat eine mehrdeutige Lösung, wenn in II" die eckige Klammer und gleichzeitig die rechte Seite verschwindet, d.h., wenn gilt
 
(8a)   $lambda^2 - 4 lambda - 5 = 0$
(8b)   $15 - 3 lambda = 0$.
 
Wir wissen bereits, daß (8a) die Nullstellen $lambda_1 = 5$,   $lambda_2 = -1$ hat. Offenbar hat (8b) die Nullstelle $lambda = 5$. Somit sind (8a) und (8b) nur dann gleichzeitig erfüllt, wenn $lambda = 5$ ist.
 
Das System hat genau für $lambda = 5$ eine mehrdeutige Lösung.
 
Wir bestimmen diese Lösung.
 
Bei $lambda = 5$ verschwindet die linke und rechte Seite von II" für jedes $x_2$. Es bleibt nur die Gleichung I" übrig.
 
Bei $lambda = 5$ hat I" die Form
 
(9)   $x_1 + 2 x_2 = 3$.
 
(9) hat offenbar die Lösung
 
(10)   $x_2 = t$,   $x_1 = 3 - 2 t$,   $t in RR$.
 
Zu c):
Das System I", II" ist widersprüchlich, wenn in II" die eckige Klammer Null ist, die rechte Seite aber nicht Null ist.
 
Die rechte Seite ist für $lambda != 0$ ungleich Null. Die eckige Klammer verschwindet für $lambda_1 = 5$ und  $lambda_2 = -1$. Damit ist das System nur für $lambda_2 = -1$ widersprüchlich.
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Dr. B. Fiedler
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Johannes Steltzer
HfTL
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Posts: 30
$lambda$ komplex?
Reply #1 - 11.04.2008 at 19:46:55
 
Hallo Herr Dr. Fiedler,
in Ihrem Beispiel haben Sie festgelegt, dass $lambda$ Element der reellen Zahlen ist. Warum?
Das Gleichungssystem ist für keinen Zahlenbereich beschränkt worden.  
Könnte $lambda$ daher nicht auch Element der komplexen Zahlen sein, die die reellen Zahlen ja mit einschließen (nämlich dann, wenn der Imaginärteil $0$ bzw. das Argument $k*Pi$ ist)?
MfG
Johannes Steltzer
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« Last Edit: 12.04.2008 at 13:36:46 by Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler »  
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Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
YaBB Administrator
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Posts: 3912
Re: $lambda$ komplex?
Reply #2 - 12.04.2008 at 13:34:21
 
Hallo, Herr Steltzer,
 
Sie haben recht. In der Aufgabenstellung wird nirgends gesagt, daß $lambda$ reell sein soll. Folglich müßten wir eigentlich den allgemeinsten Fall annehmen und annehmen, daß $lambda in CC$ ist.
 
Auf die Lösung wirkt sich das aber kaum aus, da die Nullstellen der Polynome (1) und (8b) alle reell sind. ich müßte lediglich den Satz nach der Formel (3) umändern in  
 
"Das System ist eindeutig lösbar, wenn $lambda != 5$ und $lambda != -1$ ist , d.h. für $lambda in CC \\ {5,-1}$."
 
Dann kann der gesamte Text als Lösung unter der Vorraussetzung $lambda in CC$ angesehen werden.
 
Das gleiche trifft auf die Originalaufgabe in der Klausur TPL1 zu.
 
Bei der Korrektur der Klausur TPL1 hat die Frage "$lambda in RR$ oder $lambda in CC$ ?" übrigens keine Rolle gespielt. Die wenigsten haben eine Bedingung wie $lambda in CC \\ {5,-1}$ hingeschrieben. Bei denen, die es gemacht haben, wurden beide Varianten $lambda in CC \\ {5,-1}$ oder $lambda in RR \\ {5,-1}$ als richtig anerkannt. (In der geschweiften Klammer müssen dann natürlich die Nullstellen aus der Klausur stehen.)
 
Mit freundlichen Grüßen,
B. Fiedler
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B. Fiedler
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