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Aufgabe 5 (Read 9255 times)
Dr. B. Fiedler
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Aufgabe 5
24.06.2008 at 12:40:02
 
Aufgabe 5:
Es sei $y = f(x)$ eine $2pi$-periodische Funktion mit
a) $f(x) = e^(ax)$ für $0 le x < 2pi$, $a != 0$,
b) $f(x) = sin(ax)$ für $-pi < x < pi$, $a$ nicht ganz.
Entwickeln Sie $f(x)$ in eine Fourierreihe.
 
Zusatzaufgabe:
Formen Sie bei b) mit Hilfe von Additionstheoremen für Winkelfunktionen die Fourierkoeffizienten so um, daß sich die in Tafelwerken abgedruckte Entwicklung
$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]$
ergibt.
 
Fertigstellungstermin:  2.7.08, 23:59 Uhr
 
Hinweis:
1. Lesen Sie die Stammfunktionen der zu berechnenden Integrale aus Tafelwerken ab.
2. Bei b) braucht man einen Teil der Fourierkoeffizienten nicht zu berechnen, wenn man beachtet, daß $f(x)$ auf $(-pi,pi)$ eine ungerade Funktion ist.
 
Editorhinweise:
$sum_(n=7)^(oo) (sqrt(n!))/(10^n) * x^n$  erzeugt man mit \$sum_(n=7)^(oo) (sqrt(n!))/(10^n) * x^n\$
$e^2 sum_(k=1)^(oo) (2^(k-1))/(k!) [k+2] (x-1)^k + e^2$   erzeugt man mit \$e^2 sum_(k=1)^(oo) (2^(k-1))/(k!) [k+2] (x-1)^k + e^2\$
$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]$ erzeugt man mit
\$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]\$
 
 
Wenn Ihnen das Bild einer Formeln zu klein erscheint brauchen Sie nur auf die Formel zu klicken. Dann wird sie vergrößert. Erneutes Daraufklicken verkleinert sie wieder.
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Dr. B. Fiedler
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Juri Lobov
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Re: Aufgabe 5
Reply #1 - 21.08.2008 at 16:32:37
 
a)
 
`a_0=1/(2pi)int_0^(2pi)e^(ax)=1/(2pi)[1/a*e^(ax)]_0^(2pi)=1/(2pi)(1/a*e^(a*2pi)-1/a)=1/(2pi*a)(e^(a*2pi)-1)`
 
`a_k=1/piint_0^(2pi)e^(ax)cos(kx)=1/pi[e^(ax)/(a^2+k^2)(a*cos(kx)+k*sin(kx))]_0^(2pi)=1/pi(e^(a*2pi)/(a^2+k^2)*a-1/(a^2+k^2)*a)=a/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)`

 
`b_k=1/piint_0^(2pi)e^(ax)sin(kx)=1/pi[e^(ax)/(a^2+k^2)(a*sin(kx)-k*cos(kx))]_0^(2pi)=1/pi(e^(a*2pi)/(a^2+k^2)*(-k)-1/(a^2+k^2)*(-k))=-k/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2
pi)-1)`
 
Die Fourier-Reihe lautet:
 
`f(x)=1/(2pi*a)(e^(a*2pi)-1)+sum_(k=1)^ooa/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)*cos(kx)+su
m_(k=1)^oo-k/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)`
 
 
MfG
Juri
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Juri Lobov
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Re: Aufgabe 5
Reply #2 - 21.08.2008 at 16:35:23
 
Guten Tag Herr Dr. Fiedler,
 
aus irgendeinen Grund wurden bei mir bei einigen Formeln automatisch Zeilenumbrüche gemacht. Wissen Sie vielleicht voran das liegt?
 
MfG
Juri
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Juri Lobov
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Re: Aufgabe 5
Reply #3 - 21.08.2008 at 18:14:11
 
b)
 
da es eine ungerade Funktion ist, ist `a_0=0` und `a_k=0`
 
`b_k=2/piint_0^pisin(ax)*sin(kx)=2/pi[(sin(a-k)x)/(2*(a-k))-(sin(a+k)x)/(2*(a+k))]_0^pi=2/pi((sin(a-k)pi)/(2(a-k))-(sin(a+k)pi)/(2(a+k)))`
 
Die Fourier-Reihe lautet:
 
`f(x)=sum_(k=1)^oo1/(pi(a+k))(sin(a-k)pi-sin(a+k)pi)*sin(kx)`
 
 
MfG
Juri
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #4 - 28.08.2008 at 10:34:35
 
Quote from Juri Lobov on 21.08.2008 at 16:35:23:
Guten Tag Herr Dr. Fiedler,

aus irgendeinen Grund wurden bei mir bei einigen Formeln automatisch Zeilenumbrüche gemacht. Wissen Sie vielleicht voran das liegt?

MfG
Juri

 
Hallo, Herr Lobow,
 
Die Ursache für die erwähnten Zeilenumbrüche sind lange Formelquelltexte, die keine Leerzeichen enthalten. Das MathML versteht in der Regel den Formelquelltext ohne Leerzeichen zwischen einzelnen Quelltextteilen. Für die Software des Forums ist so ein Quelltext ohne Leerzeichen einfach eine überlange Zeichenkette, die sie ab einer gewissen Länge mit einem Zeilenumbruchzeichen teilt. An diesem Zeilenumbruchzeichen beendet das MathML dann die Interpretation des Formelquelltextes. Der Rest des Quelltextes erscheint dann nicht als Formel, sondern nur als Quelltext.
 
Abhilfe: Einfach immer mal ein Leerzeichen in den Formelquelltext einfügen, damit der Quelltext für die Forumssoftware aus mehreren Teilen besteht. Diese Teile verteilt die Software dann auf mehrere Zeilen, ohne jedoch Zeilenumbruchzeichen zu verwenden. Es wird dann die gesamte Formel richtig dargestellt.
 
Zuerst habe ich diesen Effekt bei großen Matrizen bemerkt. Siehe:
 
http://www.math-qa.de/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1208211824/2#2
 
Er ist jedoch nicht an Matrizen gebunden, sondern kann in allen überlangen Formelquelltexten ohne Leerzeichen auftreten.
 
MfG
B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #5 - 28.08.2008 at 11:09:36
 
Hallo, Herr Lobov,
 
Jetzt die Korrektur.
 
Quote from Juri Lobov on 21.08.2008 at 16:32:37:
a)

`a_0=1/(2pi)int_0^(2pi)e^(ax)=1/(2pi)[1/a*e^(ax)]_0^(2pi)=1/(2pi)(1/a*e^(a*2pi)-1/a)=1/(2pi*a)(e^(a*2pi)-1)`   Edited:
Richtig


`a_k=1/piint_0^(2pi)e^(ax)cos(kx)=1/pi[e^(ax)/(a^2+k^2)(a*cos(kx)+k*sin(kx))]_0^(2pi)=1/pi(e^(a*2pi)/(a^2+k^2)*a-1/(a^2+k^2)*a)=a/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)`
  Edited:
Richtig


`b_k=1/piint_0^(2pi)e^(ax)sin(kx)=1/pi[e^(ax)/(a^2+k^2)(a*sin(kx)-k*cos(kx))]_0^(2pi) = 1/pi(e^(a*2pi)/(a^2+k^2)*(-k)-1/(a^2+k^2)*(-k)) = -k/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)`   Edited:
Richtig.

P.S.: Ich habe hier die Formeldarstellung repariert, indem ich beiderseits der Gleichheitszeichen Leerzeichen eingefügt habe.


Die Fourier-Reihe lautet:

`f(x)=1/(2pi*a)(e^(a*2pi)-1) + sum_(k=1)^ooa/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)*cos(kx) + sum_(k=1)^oo-k/(pi(a^2+k^2))(e^(a*2pi)-1)`   Edited:
Richtig, bis auf das fehlende $sin(kx)$ in der zweiten unendlichen Reihe.

P.S.: Den zeilenumbruch habe ich hier beseitigt, indem ich beiderseits der Plus-Zeichen Leerzeichen eingefügt habe.



MfG
Juri

 
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Dr. B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #6 - 28.08.2008 at 11:27:20
 
Quote from Juri Lobov on 21.08.2008 at 18:14:11:
b)

da es eine ungerade Funktion ist, ist `a_0=0` und `a_k=0`   Edited:
Richtig


`b_k=2/piint_0^pisin(ax)*sin(kx)=2/pi[(sin(a-k)x)/(2*(a-k))-(sin(a+k)x)/(2*(a+k))]_0^pi=2/pi((sin(a-k)pi)/(2(a-k))-(sin(a+k)pi)/(2(a+k)))`

Die Fourier-Reihe lautet:

`f(x)=sum_(k=1)^oo1/(pi(a+k))(sin(a-k)pi-sin(a+k)pi)*sin(kx)`   Edited:
Richtig



MfG
Juri

 
Gesamtwertung für a) und b):   r  (mit leichtem Minus wegen des vergessenen Sinus).
 
Wenn Sie noch die Zusatzaufgabe versuchen, kann es r+r werden.
 
MfG
B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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Juri Lobov
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Re: Aufgabe 5
Reply #7 - 28.08.2008 at 14:10:43
 
Zusatzaufgabe:
 
Durch die Beziehung `sin alpha - sin beta=2*cos((alpha+beta)/2) * sin((alpha-beta)/2)` komm ich auf
 
`f(x)=sum_(n=1)^oo1/(pi(a+k))*2*cos(((a-k)pi+(a+k)pi)/2) * sin(((a-k)pi-(a+k)pi)/2)*sin(kx) = sum_(n=1)^oo1/(pi(a+k))*2*cos((pia-pik+pia+pik)/2) * sin((pia-pik-pia-pik)/2)*sin(kx)=sum_(n=1)^oo1/(pi(a+k))*2*cos(pia) * sin(-kpi)*sin(kx)`
 
Irgendwo muss ich einen Fehler haben, denn `-sin(kpi)` wäre immer null. Können Sie mir einen Tipp geben?
 
 
MfG
Juri
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Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #8 - 29.08.2008 at 19:50:31
 
Hallo, Herr Lobov,
 
Jetzt muß ich mir selbst mal eine 'Gesamtwertung: f' geben, denn ich habe die Aufgabe b) nicht richtig korrigiert. Hier die richtige Korrektur:
 
Quote from Juri Lobov on 21.08.2008 at 18:14:11:
b)

da es eine ungerade Funktion ist, ist `a_0=0` und `a_k=0`   Edited:
Richtig


`b_k=2/piint_0^pisin(ax)*sin(kx)=2/pi[(sin(a-k)x)/(2*(a-k))-(sin(a+k)x)/(2*(a+k))]_0^pi=2/pi((sin(a-k)pi)/(2(a-k))-(sin(a+k)pi)/(2(a+k)))`   Edited:
Richtig


Die Fourier-Reihe lautet:

`f(x)=sum_(k=1)^oo1/(pi(a+k))(sin(a-k)pi-sin(a+k)pi)*sin(kx)`   Edited:
Leider nicht richtig, denn unter den 2 Sinussen in $b_k$ stehen verschiedene Nenner.



MfG
Juri

 
Damit ist klar, daß Sie die in ihrem Reply #7 verwendete Formel gar nicht anwenden können.
 
Mein Tip: Zunächst die beiden Ausdrücke $sin(a*pi - k*pi)$ und $sin(a*pi + k*pi)$ mit dem Additionstheorem $sin(u + v) = sin(u) cos(v) + cos(u) sin(v)$ umformen. Danach die beiden Brüche in $b_k$ auf den Hauptnenner bringen.
 
Bisherige Gesamtwertung:  m   (was Sie aber leicht wieder in r umwandeln).
 
MfG
B. Fiedler
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« Last Edit: 30.08.2008 at 17:58:37 by Dr. B. Fiedler »  

B. Fiedler
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Juri Lobov
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Re: Aufgabe 5
Reply #9 - 01.09.2008 at 12:37:31
 
b)
 
`b_k=2/pi(((sin(a-k)pi)(a+k))/(2(a-k)(a+k))-((sin(a+k)pi)(a-k))/(2(a+k)(a-k))) = 2/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(2(a^2-k^2)))= 1/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(a^2-k^2)) =1/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(a^2-k^2))`
`= 1/pi(((sin(api)cos(kpi)-sin(kpi)cos(api))(a+k)- (sin(api)cos(kpi)+sin(kpi)cos(api))(a-k))/(a^2-k^2))`
 
mit `sin(kpi)=0` und `cos(kpi)=(-1)^k` ergibt sich
 
`b_k= 1/pi((sin(api)(-1)^k(a+k)- sin(api)(-1)^k(a-k))/(a^2-k^2))= 1/pi((a*sin(api)(-1)^k+k*sin(api)(-1)^k- (a*sin(api)(-1)^k-k*sin(api)(-1)^k))/(a^2-k^2)) =1/pi((2*k*sin(api)(-1)^k)/(a^2-k^2))`
 
Die Fourier-Reihe lautet:  
 
`f(x)=(2*sin(api))/pisum_(n=1)^oo(-1)^k*(k*sin(kx))/(a^2-k^2)`
 
 
MfG
Juri
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #10 - 01.09.2008 at 19:20:49
 
Hallo, Herr Lobov,
 
Quote from Juri Lobov on 01.09.2008 at 12:37:31:
b)

`b_k=2/pi(((sin(a-k)pi)(a+k))/(2(a-k)(a+k))-((sin(a+k)pi)(a-k))/(2(a+k)(a-k))) = 2/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(2(a^2-k^2)))= 1/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(a^2-k^2)) =1/pi((sin(api-kpi)(a+k)-sin(api+kpi)(a-k))/(a^2-k^2))`
`= 1/pi(((sin(api)cos(kpi)-sin(kpi)cos(api))(a+k)- (sin(api)cos(kpi)+sin(kpi)cos(api))(a-k))/(a^2-k^2))`   Edited:
Richtig


mit `sin(kpi)=0` und `cos(kpi)=(-1)^k` ergibt sich

`b_k= 1/pi((sin(api)(-1)^k(a+k)- sin(api)(-1)^k(a-k))/(a^2-k^2))= 1/pi((a*sin(api)(-1)^k+k*sin(api)(-1)^k- (a*sin(api)(-1)^k-k*sin(api)(-1)^k))/(a^2-k^2)) =1/pi((2*k*sin(api)(-1)^k)/(a^2-k^2))`   Edited:
Richtig


Die Fourier-Reihe lautet:

`f(x)=(2*sin(api))/pisum_(n=1)^oo(-1)^k*(k*sin(kx))/(a^2-k^2)`   Edited:
Richtig



MfG
Juri

 
Gesamtwertung: r+r  (Das zweite 'r' für die Zusatzaufgabe. Sehr gut)
 
MfG
B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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