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Aufgabe 5 (Read 5257 times)
Dr. B. Fiedler
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Aufgabe 5
24.06.2008 at 12:42:09
 
Aufgabe 5:
Es sei $y = f(x)$ eine $2pi$-periodische Funktion mit
a) $f(x) = e^(ax)$ für $0 le x < 2pi$, $a != 0$,
b) $f(x) = sin(ax)$ für $-pi < x < pi$, $a$ nicht ganz.
Entwickeln Sie $f(x)$ in eine Fourierreihe.
 
Zusatzaufgabe:
Formen Sie bei b) mit Hilfe von Additionstheoremen für Winkelfunktionen die Fourierkoeffizienten so um, daß sich die in Tafelwerken abgedruckte Entwicklung
$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]$
ergibt.
 
Fertigstellungstermin:  2.7.08, 23:59 Uhr
 
Hinweis:
1. Lesen Sie die Stammfunktionen der zu berechnenden Integrale aus Tafelwerken ab.
2. Bei b) braucht man einen Teil der Fourierkoeffizienten nicht zu berechnen, wenn man beachtet, daß $f(x)$ auf $(-pi,pi)$ eine ungerade Funktion ist.
 
Editorhinweise:
$sum_(n=7)^(oo) (sqrt(n!))/(10^n) * x^n$  erzeugt man mit \$sum_(n=7)^(oo) (sqrt(n!))/(10^n) * x^n\$
$e^2 sum_(k=1)^(oo) (2^(k-1))/(k!) [k+2] (x-1)^k + e^2$   erzeugt man mit \$e^2 sum_(k=1)^(oo) (2^(k-1))/(k!) [k+2] (x-1)^k + e^2\$
$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]$ erzeugt man mit
\$f(x) = (2 sin(a pi))/(pi) [ - (sin(x))/(a^2 - 1) + (2 sin(2x))/(a^2 - 4) - (3 sin(3x))/(a^2 - 9) pm ...]\$
 
 
Wenn Ihnen das Bild einer Formeln zu klein erscheint brauchen Sie nur auf die Formel zu klicken. Dann wird sie vergrößert. Erneutes Daraufklicken verkleinert sie wieder.
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Dr. B. Fiedler
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Manuel Ersch
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Re: Aufgabe 5
Reply #1 - 22.07.2008 at 16:15:49
 
a)
 
$a_0 = 1/(2pi) int_0^(2pi) e^(ax) dx$
$a_0 = 1/(2pi) [ e^(ax)/a ] _0^(2pi)$
$a_0 = 1/(2pi) ( e^(2api)/a - 1/a)$
$a_0 = 1/(2api) ( e^(2api) - 1)$
 
$a_k = 1/pi int_0^(2pi) e^(ax) cos(kx) dx$
$a_k = 1/pi [ e^(ax) ((acos(kx) + ksin(kx))/(a^2+k^2)) ]_0^(2pi)$
$a_k = 1/(pi(a^2+k^2)) [ e^(ax) (acos(kx) + ksin(kx)) ]_0^(2pi)$
$a_k = 1/(pi(a^2+k^2)) (e^(2api) (acos(2pik) + ksin(2pik)) - e^(0a) (acos(0k) + ksin(0k)))$
$text(mit ) cos(2pik) = 1 text( und ) sin(2pik) = 0 ; k =0,1,2,3,...$
$a_k = (ae^(2pia)-a)/(pi(a^2+k^2))$
$a_k = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2))$
 
$a_1 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+1))$
$a_2 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+4))$
$a_3 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+9))$
 
$b_k = 1/pi int_0^(2pi) e^(ax) sin(kx) dx$
$b_k = 1/pi [ e^(ax) ((asin(kx) - kcos(kx))/(a^2+k^2)) ]_0^(2pi)$
$b_k = 1/(pi(a^2+k^2)) [ e^(ax) (asin(kx) - kcos(kx)) ]_0^(2pi)$
$b_k = 1/(pi(a^2+k^2)) (e^(2api) (asin(2pik) - kcos(2pik)) - e^(0a) (asin(0k) - kcos(0k)))$
$text(mit ) cos(2pik) = 1 text( und ) sin(2pik) = 0 ; k =0,1,2,3,...$
$b_k = (k - ke^(2pia))/(pi(a^2+k^2))$
$b_k = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))$
 
$b_1 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+1))$
$b_2 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+4))$
$b_3 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+9))$
 
$f(x) =  (e^(2api) - 1)/(2api) sum_(k=1)^oo ((a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2)) cos(kx)+ (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))sin(kx))$
 
 
b)
 
$a_0 = 1/(2pi) int_-pi^pi sin(ax) dx = 1/(2pi) [-cos(ax)/x]_-pi^pi = 1/(2pi) (-cos(api)/pi - cos(-api)/pi)$
$a_0 = 1/(2pi) (-cos(api)/pi + cos(api)/pi) = 0$
--> Auch aus der Eigenschaft der ungeraden Funktion herleitbar
 
$a_k = 0$ Eigenschaft der ungeraden Funktion
 
$b_k = 1/pi int_-pi^pi sin(ax)sin(kx) dx = 1/pi [ sin((a-k)x)/(2(a-k)) - sin((a+k)x)/(2(a+k)) ]_-pi^pi$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)-pi)/(2(a-k)) + sin((a+k)-pi)/(2(a+k)))
 
Hier gehts für mich erstmal nicht weiter.
Kann es sein dass ich einen Fehler gemacht habe, da es auch eine große Abweichung zur Zielformel der Zusatzaufgabe gibt.
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #2 - 26.07.2008 at 15:20:38
 
Hallo, Herr Ersch,
 
Quote from Manuel Ersch on 22.07.2008 at 16:15:49:
a)

$a_0 = 1/(2pi) int_0^(2pi) e^(ax) dx$
$a_0 = 1/(2pi) [ e^(ax)/a ] _0^(2pi)$
$a_0 = 1/(2pi) ( e^(2api)/a - 1/a)$
$a_0 = 1/(2api) ( e^(2api) - 1)$   Edited:
Richtig


$a_k = 1/pi int_0^(2pi) e^(ax) cos(kx) dx$
$a_k = 1/pi [ e^(ax) ((acos(kx) + ksin(kx))/(a^2+k^2)) ]_0^(2pi)$
$a_k = 1/(pi(a^2+k^2)) [ e^(ax) (acos(kx) + ksin(kx)) ]_0^(2pi)$
$a_k = 1/(pi(a^2+k^2)) (e^(2api) (acos(2pik) + ksin(2pik)) - e^(0a) (acos(0k) + ksin(0k)))$
$text(mit ) cos(2pik) = 1 text( und ) sin(2pik) = 0 ; k =0,1,2,3,...$
$a_k = (ae^(2pia)-a)/(pi(a^2+k^2))$
$a_k = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2))$   Edited:
Richtig


$a_1 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+1))$
$a_2 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+4))$
$a_3 = (a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+9))$   Edited:
Richtig


$b_k = 1/pi int_0^(2pi) e^(ax) sin(kx) dx$
$b_k = 1/pi [ e^(ax) ((asin(kx) - kcos(kx))/(a^2+k^2)) ]_0^(2pi)$
$b_k = 1/(pi(a^2+k^2)) [ e^(ax) (asin(kx) - kcos(kx)) ]_0^(2pi)$
$b_k = 1/(pi(a^2+k^2)) (e^(2api) (asin(2pik) - kcos(2pik)) - e^(0a) (asin(0k) - kcos(0k)))$
$text(mit ) cos(2pik) = 1 text( und ) sin(2pik) = 0 ; k =0,1,2,3,...$
$b_k = (k - ke^(2pia))/(pi(a^2+k^2))$
$b_k = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))$   Edited:
Richtig


$b_1 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+1))$
$b_2 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+4))$
$b_3 = (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+9))$   Edited:
Hier müssen Sie für das $k$ im Zähler auch 1, 2, 3,... setzen.


$f(x) =  (e^(2api) - 1)/(2api) sum_(k=1)^oo ((a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2)) cos(kx)+ (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))sin(kx))$   Edited:
Hier muß noch ein Pluszeichen eingefüht werden, d.h., es muß heißen

$f(x) =  (e^(2api) - 1)/(2api) + sum_(k=1)^oo ((a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2)) cos(kx)+ (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))sin(kx))$.

Fehlt das '+', dann würde man annehmen, daß die Summe mit dem Bruch $(e^(2api) - 1)/(2api)$ multipliziert wird.

Alles andere ist jedoch richtig. Sehr gut.


b)

$a_0 = 1/(2pi) int_-pi^pi sin(ax) dx = 1/(2pi) [-cos(ax)/x]_-pi^pi = 1/(2pi) (-cos(api)/pi - cos(-api)/pi)$  Edited:
Hier muß es heißen: $1/(2pi) int_-pi^pi sin(ax) dx = 1/(2pi) [-cos(ax)/a]_-pi^pi$. Das Ergebnis $0$ ist jedoch richtig.

Sie hätten das Integral auch gar nicht berechnen müssen, denn bei einer ungeraden Funktion ist auch $a_0 = 0$.

$a_0 = 1/(2pi) (-cos(api)/pi + cos(api)/pi) = 0$
--> Auch aus der Eigenschaft der ungeraden Funktion herleitbar   Edited:
OK. Hier geben Sie auch selbst meine obige Bemerkung an.


$a_k = 0$ Eigenschaft der ungeraden Funktion   Edited:
Richtig


$b_k = 1/pi int_-pi^pi sin(ax)sin(kx) dx = 1/pi [ sin((a-k)x)/(2(a-k)) - sin((a+k)x)/(2(a+k)) ]_-pi^pi$   Edited:
Richtig

$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)-pi)/(2(a-k)) + sin((a+k)-pi)/(2(a+k)))$   Edited:
Die Rechnung bis hierher ist völlig richtig. Sie sollten vielleicht noch die $-pi$ in den letzten zwei Summanden in Klammern setzen, denn es wird ja multipliziert und nicht subtrahiert.
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)(-pi))/(2(a-k)) + sin((a+k)(-pi))/(2(a+k)))$

Wegen $sin(-x) = - sin(x)$ können Sie die Minuszeichen bei den beiden $-pi$ aus dem Sinus ziehen. Dann kann man die 4 Summanden zu zwei Summanden zusammenfassen.

An dieser Stelle könnte man Aufgabe b) als gelöst betrachten, denn weiter würde man für gewöhnlich nicht rechnen.

Um die Zusatzaufgabe zu lösen, muß man die beiden Ausdrücke  $sin((a-k)pi)$,  $sin((a+k)pi)$ mittels der Aditionstheoreme umformen in
$sin((a-k)pi) = sin(a pi) cos(- k pi) + cos(a pi) sin( - k pi)$
$sin((a+k)pi) = sin(a pi) cos(k pi) + cos(a pi) sin(k pi)$.
Die Werte der Winkelfunktionen, in denen $pm k pi$ steht, kann man bestimmen. Es kommt 0, 1, -1 heraus.

Mit diesen Informationen kann man dann im Fall b) die Fourierreihe auf die Gestalt bringen, die in Tafelwerken steht.


Hier gehts für mich erstmal nicht weiter.
Kann es sein dass ich einen Fehler gemacht habe, da es auch eine große Abweichung zur Zielformel der Zusatzaufgabe gibt.

 
Bisherige Gesamtwertung: m    (auf die fast richtige Lösung von a) ).
 
Wenn Sie noch Teil b) beenden, kann es r werden. Bei Lösung der Zusatzaufgabe r+r.
 
Vielleicht freut es Sie auch, zu hören, daß außer Herrn Steltzer und Ihnen bisher niemand eine Lösung für diese Aufgabe eingereicht hat.
 
MfG
B. Fiedler
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« Last Edit: 26.07.2008 at 16:23:49 by Dr. B. Fiedler »  

Dr. B. Fiedler
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Manuel Ersch
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Re: Aufgabe 5
Reply #3 - 30.07.2008 at 14:19:05
 
$b_1 = ((1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+1))$
$b_2 = (2(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+4))$
$b_3 = (3(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+9))$
 
$f(x) =  (e^(2api) - 1)/(2api) + sum_(k=1)^oo ((a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2)) cos(kx)+ (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))sin(kx))$  
 
 
b)
 
$a_0 = 1/(2pi) int_-pi^pi sin(ax) dx = 1/(2pi) [-cos(ax)/a]_-pi^pi = 1/(2pi) (-cos(api)/a - cos(-api)/a)$
--> Auch aus der Eigenschaft der ungeraden Funktion herleitbar
 
$a_k = 0$ Eigenschaft der ungeraden Funktion
 
$b_k = 1/pi int_-pi^pi sin(ax)sin(kx) dx = 1/pi [ sin((a-k)x)/(2(a-k)) - sin((a+k)x)/(2(a+k)) ]_-pi^pi$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)(-pi))/(2(a-k)) + sin((a+k)(-pi))/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)(-pi))/(2(a-k)) + sin((a+k)(-pi))/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) + sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(a-k) - sin((a+k)pi)/(a+k) )$
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Dr. B. Fiedler
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Re: Aufgabe 5
Reply #4 - 31.07.2008 at 20:43:11
 
Hallo, Herr Ersch,
 
Quote from Manuel Ersch on 30.07.2008 at 14:19:05:
$b_1 = ((1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+1))$
$b_2 = (2(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+4))$
$b_3 = (3(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+9))$   Edited:
Richtig


$f(x) =  (e^(2api) - 1)/(2api) + sum_(k=1)^oo ((a(e^(2pia)-1))/(pi(a^2+k^2)) cos(kx)+ (k(1 - e^(2pia)))/(pi(a^2+k^2))sin(kx))$    Edited:
Richtig



b)

$a_0 = 1/(2pi) int_-pi^pi sin(ax) dx = 1/(2pi) [-cos(ax)/a]_-pi^pi = 1/(2pi) (-cos(api)/a - cos(-api)/a) = 0$
--> Auch aus der Eigenschaft der ungeraden Funktion herleitbar

$a_k = 0$ Eigenschaft der ungeraden Funktion

$b_k = 1/pi int_-pi^pi sin(ax)sin(kx) dx = 1/pi [ sin((a-k)x)/(2(a-k)) - sin((a+k)x)/(2(a+k)) ]_-pi^pi$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)(-pi))/(2(a-k)) + sin((a+k)(-pi))/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) - sin((a-k)(-pi))/(2(a-k)) + sin((a+k)(-pi))/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)) + sin((a-k)pi)/(2(a-k)) - sin((a+k)pi)/(2(a+k)))$
$b_k = 1/pi ( sin((a-k)pi)/(a-k) - sin((a+k)pi)/(a+k) )$   Edited:
Richtig

 
Bisherige Gesamtwertung: r
 
Wollen Sie nun nicht noch die Zusatzaufgabe versuchen? Die Additionstheoreme habe ich in Reply#2 ja schon hingeschrieben. Es ist gar nicht so schwierig.
 
MfG
B. Fiedler
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Dr. B. Fiedler
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