Math-QA.COM Forum - Aufgabe 6

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Aufgabe 6
10.07.2008 at 17:48:34

Aufgabe 6:
Bestimmen Sie die stationären Punkte der Funktion
(1) $z = f(x,y) = xy * (1+x+y)$
und untersuchen Sie, ob an diesen Punkten relative Maxima oder Minima vorliegen.

Zusatzaufgabe:
Führen Sie die Untersuchung auf relative Extrema mit Hilfe der Eigenwerte der Hessematrix $H_f$ von $f$ durch.

Fertigstellungstermin: 17.7.08, 23:59 Uhr

Hinweis:
Die Aufgabe ist eine vereinfachte Version der Aufgabe 10.14c), Leupold II, S. 270.

Editorhinweise:
$f_x$, $f_(x x)$, $f_(xy)$ erzeugt man mit \$f_x\$, \$f_(x x)\$, \$f_(xy)\$.
Bei $f_(x x)$ muß ein Leerzeichen zwischen die zwei x geschrieben werden, da in MathML xx das Multiplikationszeichen erzeugt:
\$xx\$ = $xx$.
$H_f = ((f_(x x),f_(xy)), (f_(yx),f_(yy)))$ erzeugt man mit \$H_f = ((f_(x x),f_(xy)), (f_(yx),f_(yy))\$
$|(1-lambda,2), (2,3-lambda)| = 0$ erzeugt man mit $|(1-lambda,2), (2,3-lambda)| = 0$.

Wenn Ihnen das Bild einer Formeln zu klein erscheint brauchen Sie nur auf die Formel zu klicken. Dann wird sie vergrößert. Erneutes Daraufklicken verkleinert sie wieder. (Funktioniert nur beim Internetexplorer.)

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Dr. B. Fiedler

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BuechelM

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Re: Aufgabe 6
Reply #1 - 22.07.2008 at 19:44:23

Hallo Dr. Fiedler,
anbei mein Lösungsweg zur Übungsaufgabe,
wenn auch durch den Ausfall des Forums ein wenig verspätet.

$z=xy*(1+x+y)$

Partielle Ableitungen

$z_x=y+2xy+y^2$
$z_y=x+x^2+2xy$

$z_(x x)=2y$
$z_(x y)=z_(yx)=1+2x+2y$
$z_(y y)=2x$

$z_x=y(1+2x+y)$
$z_y=x(1+2y+x)$
$=> x_1=0; y_1=0$

Berechnung der Stationären Punkte

$2x+y=-1$
$x+2y=-1$
$=>x_2=-1/6; y_2=-2/3$

$ => P_1(0;0), P_2(-1/6;-2/3)$

Bestimmung der Extremwerte für die Stationären Punkte

$|(2y,1+2x+2y),(1+2x+2y,2x)||_(0;0)=-1 < 0 => $für $P_1$ keine Extremstelle => Sattelpunkt
$|(2y,1+2x+2y),(1+2x+2y,2x)||_(-1/6;-2/3)=0 => $ für $P_2$ unentscheidbar

Betrachtung mittels Eigenwerten

$Av-lambda*v=0$
$(A-lambda*E)v=0$
$|A-lambda*E|=0$
$(-4/3-lambda)*(-1/3-lambda)=4/9$
$lambda^2+5/3*lambda=0$
$=> lambda_1=0, lambda_2=5/3$
$=> aus lambda_1=0 =>$ unentscheidbar

Betrachtung in kleinem Bereich um P_2:

$z(P_2)=1/54$
$x>x_2: z(x)<z(x_2)$
$x<x_2: z(x)>z(x_2)$

$=> P_2$ ist Sattelpunkt

Mit freundlichen Grüßen

Manuel Büchel

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Dr. B. Fiedler

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Re: Aufgabe 6
Reply #2 - 25.07.2008 at 20:14:39

Hallo, Herr Büchel,

Quote from BuechelM on 22.07.2008 at 19:44:23:

Hallo Dr. Fiedler,
anbei mein Lösungsweg zur Übungsaufgabe,
wenn auch durch den Ausfall des Forums ein wenig verspätet.

$z=xy*(1+x+y)$

Partielle Ableitungen

$z_x=y+2xy+y^2$
$z_y=x+x^2+2xy$ Edited:

Richtig

$z_(x x)=2y$
$z_(x y)=z_(yx)=1+2x+2y$
$z_(y y)=2x$ Edited:

Richtig

$z_x=y(1+2x+y)$
$z_y=x(1+2y+x)$ Edited:

Gute Umformung

$=> x_1=0; y_1=0$ Edited:

Richtig

Berechnung der Stationären Punkte Edited:

Besser: "Berechnung weiterer stationärer Punkte", denn $(x_1 , y_1) = (0,0)$ ist ja auch einer.

$2x+y=-1$
$x+2y=-1$
$=>x_2=-1/6; y_2=-2/3$ Edited:

Das stimmt leider nicht.

$ => P_1(0;0), P_2(-1/6;-2/3)$ Edited:

Auch wenn $P_2$ richtig wäre, wären das nicht alle stationären Punkte. Es fehlen noch 2.

Bestimmung der Extremwerte für die Stationären Punkte

$|(2y,1+2x+2y),(1+2x+2y,2x)||_(0;0)=-1 < 0 => $für $P_1$ keine Extremstelle => Sattelpunkt Edited:

Richtig

$|(2y,1+2x+2y),(1+2x+2y,2x)||_(-1/6;-2/3)=0 => $ für $P_2$ unentscheidbar Edited:

Wäre $P_2$ richtig, würde dies stimmen.

Betrachtung mittels Eigenwerten

$Av-lambda*v=0$ Edited:

Sehr gut. Woher kennen Sie Eigenvektoren?

Ich nehme im folgenden an, daß $P_2$ stimmen würde.

$(A-lambda*E)v=0$
$|A-lambda*E|=0$
$(-4/3-lambda)*(-1/3-lambda)=4/9$
$lambda^2+5/3*lambda=0$ Edited:

Richtig. Sie hätten aber angeben sollen, daß Sie hier $(-1/6, -2/3)$ betrachten.

$=> lambda_1=0, lambda_2=5/3$ Edited:

Fehler. Es ist $lambda_2 = - 5/3$.

$=> aus lambda_1=0 =>$ unentscheidbar Edited:

Richtig

Betrachtung in kleinem Bereich um P_2:

$z(P_2)=1/54$
$x>x_2: z(x)<z(x_2)$
$x<x_2: z(x)>z(x_2)$

$=> P_2$ ist Sattelpunkt Edited:

Falsch. Wenn ein Eigenwert Null ist ist es kein Sattelpunkt. Dann gibt es für den stationären Punkt keinen festliegenden Namen wie Minimum, Max. oder Sattelpunkt. Man kann dann nur durch Einzeluntersuchung feststellen, wie das Funktionsgebirge aussieht. Das war in obiger Aufgabe aber nicht verlangt.

Mit freundlichen Grüßen

Manuel Büchel

Bisherige Gesamtwertung: m+m

Versuchen Sie, die noch fehlenden stationären Punkte zu bestimmen und korrigieren Sie den Fehler in $P_2$. Dann kann es r+r werden.

MfG
B. Fiedler

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« Last Edit: 26.07.2008 at 13:54:28 by Dr. B. Fiedler »

Dr. B. Fiedler

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BuechelM YaBB Newbies $*$ Posts: 9	Re: Aufgabe 6 Reply #3 - 30.07.2008 at 16:19:23 Hallo Dr. Fiedler, ok, der Punkt $P_2$ ist $ (-1/3, -1/3), aber dass dort noch 2 weitere Punkte auffindbar sein sollen kann ich irgendwie nicht sehen, haben Sie eventuell eine Beispiellösung, oder einen Tipp für mich? Vielen Dank vorab für Ihre Hilfe Mit freundlichen Grüßen Manuel Büchel
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Dr. B. Fiedler

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Die fehlenden stationären Punkte
Reply #4 - 31.07.2008 at 20:38:39

Hallo, Herr Büchel,

Die stationären Punkte werden aus dem System

(1) $0 = y*(1 + 2x + y)$
(2) $0 = x*(1 + 2y + x)$

berechnet.

Bei $x != 0$ und $y != 0$ geht (1), (2) in das System

(3) $0 = 1 + 2x + y$
(4) $0 = 1 + x + 2y$

über und es ergibt sich $(-1/3, -1/3)$.

Außerdem ist (1), (2) erfüllt, wenn $x = y = 0$ ist, d.h. am Punkt $(0,0)$.

Es gibt doch nun aber auch noch die Möglichkeiten

(5) $x = 0$ und $y != 0$
und
(6) $x != 0$ und $y = 0$.

Für diese zwei möglichkeiten müssen Sie noch untersuchen, welche Lösungen das System (1), (2) jeweils hat.

MfG
B. Fiedler

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Dr. B. Fiedler

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BuechelM

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Re: Aufgabe 6
Reply #5 - 01.08.2008 at 11:30:22

Hallo Dr. Fiedler,

an diesen Fall dachte ich überhaupt nicht.

Anbei die Verbesserungen:

Bestimmung der Stationären Punkte (Anmerkung: $P_1$ und $P_2$ siehe oben.)
aus $z_x=0$ folgt $y_1=0$, für $z_y$ bedeutet dies:
$z_y=x+2xy+x^2 => 0=x+2xy+x^2|_(y=0)$
$0=x+x^2$
$ => x_3 = -1$: $P_3(-1, 0)$

für $z_y=0$ und somit für $x_1=0$ ist die Rechnung für $z_x$ in diesem Fall analog.
$ => y_4 = -1$: $P_4(0, -1)$

Bestimmung der rel. Extrema f.d. Stationären Punkte
$P_2 (-1/3, -1/3)$:
$|H(P_2)|=7/9 =>$ rel. Extremwert für $P_2$
$z_(x x)(P_2) = -2/3$
$ =>$ rel. Maxima in $P_2$: $M_1(-1/3, -1/3, 1/27)$

$P_3(-1, 0)$:
$|H(P_3)|=-1 => $ Sattelpunkt für $P_3$: $S_2(-1, 0, 0)$

$P_4(0, -1)$:
$|H(P_4)|=-1 => $ Sattelpunkt für $P_4$: $S_3(0, -1, 0)$

Die Betrachtung mittels Eigenwerten ist an dieser Stelle nicht mehr nötig, da die Betrachtungen für alle Punkte zu eindeutigen Ergebnissen geführt hat.

PS: Eigenwerte kenne ich von meiner Freundin, ist wohl für das Bauingenieurwesen relativ wichtig.
Ich finde es jedoch schade, dass wir diese nicht nach Studienplan lernen, da man anscheinend schon relativ viel mit Eigenwerten bestimmen/beurteilen kann.

Ich wünsche Ihnen erholsame Semesterferien.

Mit freundlichen Grüßen

Manuel Büchel

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Dr. B. Fiedler

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Re: Aufgabe 6
Reply #6 - 07.08.2008 at 13:20:15

Hallo, Herr Büchel,

Quote from BuechelM on 01.08.2008 at 11:30:22:

Hallo Dr. Fiedler,

an diesen Fall dachte ich überhaupt nicht.

Anbei die Verbesserungen:

Bestimmung der Stationären Punkte (Anmerkung: $P_1$ und $P_2$ siehe oben.)
aus $z_x=0$ folgt $y_1=0$, für $z_y$ bedeutet dies:
$z_y=x+2xy+x^2 => 0=x+2xy+x^2|_(y=0)$
$0=x+x^2$
$ => x_3 = -1$: $P_3(-1, 0)$ Edited:

Richtig

für $z_y=0$ und somit für $x_1=0$ ist die Rechnung für $z_x$ in diesem Fall analog.
$ => y_4 = -1$: $P_4(0, -1)$ Edited:

Richtig

Bestimmung der rel. Extrema f.d. Stationären Punkte
$P_2 (-1/3, -1/3)$:
$|H(P_2)|=7/9 =>$ rel. Extremwert für $P_2$ Edited:

Ich erhalte hier $|H(P_2)|=1/3$. ???

$z_(x x)(P_2) = -2/3$
$ =>$ rel. Maxima in $P_2$: $M_1(-1/3, -1/3, 1/27)$ Edited:

OK, wenn $|H(P_2)|$ noch mal überprüft wird.

$P_3(-1, 0)$:
$|H(P_3)|=-1 => $ Sattelpunkt für $P_3$: $S_2(-1, 0, 0)$ Edited:

Richtig

$P_4(0, -1)$:
$|H(P_4)|=-1 => $ Sattelpunkt für $P_4$: $S_3(0, -1, 0)$ Edited:

Richtig

Die Betrachtung mittels Eigenwerten ist an dieser Stelle nicht mehr nötig, da die Betrachtungen für alle Punkte zu eindeutigen Ergebnissen geführt hat.
Edited:

Es ist richtig, daß man bei dieser Aufgabe die Eigenwerte nicht brauchen würde, da man mit dem Kriterium, das über die Ableitungen geht, schon herausbekommt, was für Extremwerte vorliegen.

Die Verwendung von Eigenwerten waren hier jedoch in der Zusatzaufgabe gefordert worden. Wenn Sie Ihre Bewertung der Zusatzaufgabe noch verbessern möchten, müßten Sie noch eine zweite Extremwertuntersuchung mittels Eigenwerten machen.

PS: Eigenwerte kenne ich von meiner Freundin, ist wohl für das Bauingenieurwesen relativ wichtig. Edited:

Das ist wahr.

Ich finde es jedoch schade, dass wir diese nicht nach Studienplan lernen, da man anscheinend schon relativ viel mit Eigenwerten bestimmen/beurteilen kann.
Edited:

Eigenwerte sind eigentlich auch für Ihr Fachgebiet sehr wichtig. Man kann z.B. mit ihnen vorhersagen, ob es in Schwingkreisen zu Resonanzaufschaukelungen oder Resonanzkatastrophen kommen kann.

Es ist sehr gut, daß sie über Eigenwerte etwas mehr wissen, als im offiziellen Unterricht behandelt wird. Das wird sich später bestimmt einmal als nützlich erweisen.

Ich wünsche Ihnen erholsame Semesterferien. Edited:

Vielen Dank. Das wünsche ich Ihnen auch.

Mit freundlichen Grüßen

Manuel Büchel

Bisherige Gesamtwertung: (r) + m

(Bei der Originalaufgabe hat die Determinante bei P2 noch nicht gestimmt. Deshalb (r). Bei der Zusatzaufgabe ist seit der letzten Wertung noch nichts neues hinzugekommen. Deshalb m.)

MfG
B. Fiedler

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Dr. B. Fiedler

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