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Lösung linearer DGLs mit Laplacetransformation (Read 5836 times)
Dr. B. Fiedler
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Posts: 530
Lösung linearer DGLs mit Laplacetransformation
07.09.2008 at 18:21:30
 
Ich möchte hier noch einmal das Grundprinzip der Lösung linearer DGLs mit konstanten Koeffizienten, das in dem Thread
 
http://www.math-qa.com/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1220379501
 
angewendet wurde, zusammenfassen.
 
Gegeben sei eine lineare DGL $n$-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:
 
(1)   $y^((n)) + a_(n-1)  y^((n-1)) + a_(n-2) y^((n-2)) + ... + a_1 y' + a_0 y = f(x)$,
 
zusammen mit gewissen Anfangswerten
 
(2)   $y(0) = y_0$,   $y'(0) = y_1$,   $y''(0) = y_2$,   ...   , $y((n-1))(0) = y_(n-1)$.
 
Wenden wir auf (1) die Laplacetransformation an und beachten wir (2), dann erhalten wir
 
(3)   $P(s)*Y(s) + Q(s) = F(s)$.
 
Hierbei sind $Y(s)$ und $F(s)$ die Laplacetransformierten von $y(x)$ und $f(x)$ und $P$ und $Q$ sind zwei Polynome, die sich bei der Laplacetransformation ergeben. $P(s)$ ist das charakteristische Polynom der DGL
 
(4)   $P(s) = s^n + a_(n-1)  s^(n-1) + a_(n-2) s^(n-2) + ... + a_1 s + a_0$.
 
In $Q$ stecken alle Anfangswerte drin.
 
Löst man (3) nach $Y(s)$ auf erhält man
 
(5)   $Y(s) = F(s) * 1/(P(s)) - (Q(s))/(P(s))$
 
Nun muß man die Rücktransformation machen, um $y(x)$ zu berechnen.
 
Der Witz ist, daß man die Fouriertransformierte $F(s)$ von $f(x)$ gar nicht auszurechnen braucht, um $y(x)$ zu bestimmen. Setzen wir
 
(6)   $h(x) := L^(-1){ 1/(P(s))  }$,    $k(x) := L^(-1){ (Q(s))/(P(s)) }$,
 
dann ist bei Anwendung des Faltungssatzes
 
(7)   $L^(-1) { F(s) * 1/(P(s))   } = (f ** h)(x) = int_0^x f(x-u)*h(u) du$
 
und für die Gesamtlösung der DGL erhalten wir
 
(8)   $y(x) = int_0^x f(x-u)*h(u) du - k(x)$.
 
Wir haben in Thread http://www.math-qa.com/cgi-bin/yabb2/YaBB.pl?num=1220379501 gesehen, daß die Berechnung eines Faltungsintegrals sehr aufwendig sein kann. Warum sollte man dann die hier beschriebene Methode anwenden, wo doch die Beispiele im Skript viel weniger Rechenaufwand erforderten?
 
Die hier beschriebene Methode funktioniert bei viel allgemeineren rechten Seiten $f(x)$ als in den Beispielen im Skript. Man kann sie anwenden, wenn $f(x)$ so kompliziert ist, daß man die Laplacetransformierte $F(s)$ gar nicht mehr ausrechnen kann. Man muß von $f(x)$ nur wissen:
 
1. Für $f(x)$ existiert die Laplacetransformierte $F(s)$. (Man muß sie aber nicht bestimmen können.)
2. $f(x)$ sollte so beschaffen sein, daß man das Faltungsintegral (7) ausrechnen kann.
 
Ob sich das Faltungsintegral ausrechnen läßt, muß man in jedem konkreten Einzelfall sehen.
 
Die Beispiele im Skript sind sehr einfache Beispiele. In ihnen kann stets die Laplacetransformierte $F(s)$ berechnet werden und sie ist indiesen Beispielen sogar stets eine rationale Funktion. Dadurch kann man in (5) einfach Partialbruchzerlegung machen und bei Anwendung geeigneter Tabellen für die Laplacetransformation bleibt der Rechenaufwand sehr klein.
 
In Fällen, die komplizierter sind als die Beispiele im Skript muß man jedoch die hier beschriebene Methode anwenden.
 
In de Klausur müssen Sie nicht befürchten, daß wir Ihnen eine sehr komplizierte rechte Seite $f(x)$ vorsetzen, für die man $F(s)$ möglicherweise gar nicht berechnen kann. Aber für ihre spätere berufliche Praxis sollten Sie sich die hier beschriebene Methode merken.
 
MfG
B. Fiedler
 
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Dr. B. Fiedler
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