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Loesungsmenge einer komplexen Gleichung (Read 2636 times)
Dr.rer.nat.habil. B. Fiedler
YaBB Administrator
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Posts: 3912
Loesungsmenge einer komplexen Gleichung
28.09.2010 at 10:04:03
 
Aufgabe: Zu bestimmen sind alle komplexen Zahlen $z in CC$, die die Gleichung
 
(1)   $2 z^2 = 7 z* bar z + 3j * z$
 
erfüllen.
 
Lösung:
 
Wir formen zunächst (1) um, wobei wir $z$ ausklammern:
 
(2)   $2 z^2 - 7 z* bar z - 3j * z = 0$
 
(3)   $z * (2 z - 7  bar z - 3j ) = 0$
 
(3) ist genau dann erfüllt, wenn
 
(4a)   $z = 0$
 
oder
 
(4b)   $2 z - 7  bar z - 3j  = 0$.
 
Aus (4a) ergibt sich die Lösung $z_1 = 0$.
 
(4b) lösen wir, indem wir $z = a + jb$, $bar z = a - jb$ einsetzen:
 
(5)   $2*(a + jb) - 7*(a - jb) - 3j = 0$.
 
Wir sammeln in (5) die reellen und rein imaginären Anteile:
 
(6)   $(2a - 7a) + j*(2b + 7b - 3) = 0$
 
(7)   $-5a + j*(9b - 3) = 0$.
 
(7) ist äquivalent zu den Gleichungen
 
(8)   $5a = 0$,    $9b - 3 = 0$
 
aus denen sich $a = 0$, $b = 1/3$ ergibt. Dies führt zu der zweiten Lösung $z_2 = 0 + 1/3 j = j/3$. Die Lösungsmenge von (1) besteht somit aus den Zahlen:
 
(9)   $z_1 = 0$,   $z_2 = j/3$.
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B. Fiedler
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